Generalized subdifferentials: a Baire categorical approach (extended abstract)

Borwein, Jonathan M. and Moors, Warren B. and Wang, Shawn Xianfu (1999) Generalized subdifferentials: a Baire categorical approach (extended abstract) .

Abstract

Dans ce compte rendu, nous decrivons comment utiliser des arguments de type cat\'egorie de Baire pour construire certaines fonctions localement convexes pathologiques. Les origines de cette approche remontent \`a Banach et Mazurkiewicz (1931) qui, de mani\`ere ind\'ependante, utilis\`erent une approche semblable pour montrer que ``presque toutes les fonctions r\'elles continues d\'efinies sur $[0,1]$ sont nulle part diff\'erentiables''. Comme dans les r\'esultats de Banach et Mazurkiewicz, il s'av\`ere qu'il est plus facile de montrer que presque toutes les fonctions poss\`edent une certaine propri\'et\'e que de construire un seul exemple concret. Apr\`es une description du cadre de base de la construction, l'article continue en donnant de nombreuses applications. Parmis les r\'esultats les plus surprenants, citons le suivant : ``Presque toutes les fonctions 1-Lipschitz d\'efinies sur un espace de Banach admettent une application sous-diff\'erentielle de Clarke qui est identiquement \'egale \`a la boule unit\'e dans l'espace dual".